Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ als Gleichung.

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{9}{y^{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{9}{y^{2}} = x$ um.

$\frac{9}{y^{2}} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{2}, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{2}$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{9}{y^{2}} = x$ mit $y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{9}{y^{2}} = x$ mit $y^{2}$ .

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 = x y^{2}$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y^{2} = 9$ um.

$x y^{2} = 9$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} = 9$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} = 9$ durch $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{9}{x}$

Schritt 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9}{x}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9}{x}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{x}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.4.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.4.4.3

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 3.4.4.4.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Schritt 3.4.4.4.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Schritt 3.4.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 3.4.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{1}}$

Schritt 3.4.4.4.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 3.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 3.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.2

Setze den Nenner in $\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze den Nenner in $\frac{9}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ der Wertebereich von $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ die inverse Funktion von $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 6