Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ als Gleichung.

$y = \frac{8 x}{3 x - 7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{8 y}{3 y - 7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $3 y - 7$ .

$(3 y - 7) (x) = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x - 7 x = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y x - 7 x = \frac{8 y}{3 y - 7} (3 y - 7)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y x - 7 x = 8 y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 7 x - 8 y = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $7 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 8 y = 7 x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $3 y x - 8 y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y x$ heraus.

$y (3 x) - 8 y = 7 x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 8 y$ heraus.

$y (3 x) + y \cdot - 8 = 7 x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (3 x) + y \cdot - 8$ heraus.

$y (3 x - 8) = 7 x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x - 8) = 7 x$ durch $3 x - 8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x - 8) = 7 x$ durch $3 x - 8$ .

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{7 (\frac{8 x}{3 x - 7})}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{8 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $3 \frac{8 x}{3 x - 7}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{8 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{3 (8 x)}{3 x - 7} - 8}$

Schritt 5.2.4.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8}$

Schritt 5.2.4.2

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8 \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} + \frac{- 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.5.1

Faktorisiere $8$ aus $24 x - 8 (3 x - 7)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.5.1.1

Faktorisiere $8$ aus $24 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.1.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8 (3 x - 7)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x) + 7)}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (0 + 7)}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Addiere $0$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 \cdot 7}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.6

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

Schritt 5.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $56$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $56$ aus $56 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 (x)}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

Schritt 5.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

Schritt 5.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{7 x}{3 x - 8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{8 (\frac{7 x}{3 x - 8})}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $8$ und $\frac{7 x}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Multipliziere $3 \frac{7 x}{3 x - 8}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{7 x}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{3 (7 x)}{3 x - 8} - 7}$

Schritt 5.3.4.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7}$

Schritt 5.3.4.2

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7 \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} + \frac{- 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.5.1

Faktorisiere $7$ aus $21 x - 7 (3 x - 8)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.5.1.1

Faktorisiere $7$ aus $21 x$ heraus.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.5.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7 (3 x - 8)$ heraus.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.5.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))$ heraus.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x) + 8)}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (0 + 8)}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.5.6

Addiere $0$ und $8$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 \cdot 8}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.4.6

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $56$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $56$ aus $56 x$ heraus.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 (x)}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$