Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$ als Gleichung.

$y = - \frac{7}{2} x - 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{7}{2} y - 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{7}{2} y - 3 = x$ um.

$- \frac{7}{2} y - 3 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{y \cdot 7}{2} - 3 = x$

Schritt 3.2.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{7 y}{2} - 3 = x$

Schritt 3.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{7 y}{2} = x + 3$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{2}{7}$ .

$- \frac{2}{7} (- \frac{7 y}{2}) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $- \frac{2}{7} (- \frac{7 y}{2})$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{7}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{7} (- \frac{7 y}{2}) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 y}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{7} \cdot \frac{- 7 y}{2} = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{7} \cdot \frac{- 7 y}{2} = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{7} \cdot \frac{- 7 y}{2} = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{7} (- 7 y) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7 y$ heraus.

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{7} (x + 3)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2}{7} x - \frac{2}{7} \cdot 3$

Schritt 3.5.2.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} - \frac{2}{7} \cdot 3$

Schritt 3.5.2.1.3

Multipliziere $- \frac{2}{7} \cdot 3$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} - 3 (\frac{2}{7})$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} + \frac{- 3 \cdot 2}{7}$

Schritt 3.5.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} + \frac{- 6}{7}$

Schritt 3.5.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{2 \cdot x}{7} + \frac{- 6}{7}$

Schritt 3.5.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = - \frac{2 (- \frac{7}{2} x - 3)}{7} - \frac{6}{7}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{7}{2} x - 3) - 6}{7}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{7}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{x \cdot 7}{2} - 3) - 6}{7}$

Schritt 5.2.4.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{7 x}{2} - 3) - 6}{7}$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{7 x}{2}) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 x}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 \frac{- 7 x}{2} - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Schritt 5.2.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{2 (- 1) (\frac{- 7 x}{2}) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Schritt 5.2.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{- 7 x}{2}) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Schritt 5.2.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 1 (- 7 x) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x + 6 - 6}{7}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 x + 6 - 6$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x + 0}{7}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{2 x}{7}) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 7}{2} \cdot (- \frac{2 x}{7}) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{7}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 2 x}{7} - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{7 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{7} - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{7 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{7} - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = - 1 (- x) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = 1 x - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Schritt 5.3.3.6.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{7}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 6}{7} - 3$

Schritt 5.3.3.6.3

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{7 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 6}{7} - 3$

Schritt 5.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{7 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 6}{7} - 3$

Schritt 5.3.3.6.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 1}{2} \cdot - 6 - 3$

Schritt 5.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 3)) - 3$

Schritt 5.3.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 3) - 3$

Schritt 5.3.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x - 1 \cdot - 3 - 3$

Schritt 5.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + 3 - 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$