Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ als Gleichung.

$y = \frac{x}{x + 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y}{y + 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y}{y + 2} = x$ um.

$\frac{y}{y + 2} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 2, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 2, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 2$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y}{y + 2} = x$ mit $y + 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y}{y + 2} = x$ mit $y + 2$ .

$\frac{y}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = x (y + 2)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x y + x \cdot 2$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x y + 2 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - x y = 2 x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - x y = 2 x$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- x) = 2 x$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- x)$ heraus.

$y (1 - x) = 2 x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 2 x$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 2 x$ durch $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{1 - x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x}{x + 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 2})}{1 - (\frac{x}{x + 2})}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{1 - \frac{x}{x + 2}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x + 2 - x}{x + 2}}$

Schritt 5.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x + 2}{x + 2}}$

Schritt 5.2.4.4

Schreibe $\frac{x - x + 2}{x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.4.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{0 + 2}{x + 2}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{2}{x + 2}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 (x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Schritt 5.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 5.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Schritt 5.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 x}{1 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{\frac{2 x}{1 - x}}{(\frac{2 x}{1 - x}) + 2}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - x} + 2}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - x} + \frac{2 (1 - x)}{1 - x}}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 2 (1 - x)}{1 - x}}$

Schritt 5.3.4.3

Stelle die Terme um.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 2 (1 - x)}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.4.4

Schreibe $\frac{2 x + 2 (1 - x)}{- x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 (1 - x)$ heraus.

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Schritt 5.3.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) + 2 (1 - x)}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1 - x)$ heraus.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x + 1 - x)}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.4.4.3

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot (1 (\frac{- x + 1}{2}))$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $\frac{- x + 1}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 (x)}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (- x + 1)$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $\frac{x}{1 - x}$ mit $- x + 1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{1 - x}$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 1$ und $1 - x$ .

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Schritt 5.3.9.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 5.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 5.3.9.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$