Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ als Gleichung.

$y = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{4 y - 1}{2 y + 3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$ um.

$\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y + 3, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$2 y + 3, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 y + 3$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$ mit $2 y + 3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$ mit $2 y + 3$ .

$\frac{4 y - 1}{2 y + 3} (2 y + 3) = x (2 y + 3)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y - 1}{2 y + 3} (2 y + 3) = x (2 y + 3)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y - 1 = x (2 y + 3)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y - 1 = x (2 y) + x \cdot 3$

Schritt 3.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 y - 1 = 2 x y + x \cdot 3$

Schritt 3.3.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 y - 1 = 2 x y + 3 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y - 1 - 2 x y = 3 x$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y - 2 x y = 3 x + 1$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2 y$ aus $4 y - 2 x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $4 y$ heraus.

$2 y (2) - 2 x y = 3 x + 1$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$2 y (2) + 2 y (- x) = 3 x + 1$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (2) + 2 y (- x)$ heraus.

$2 y (2 - x) = 3 x + 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y (2 - x) = 3 x + 1$ durch $2 (2 - x)$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y (2 - x) = 3 x + 1$ durch $2 (2 - x)$ .

$\frac{2 y (2 - x)}{2 (2 - x)} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y (2 - x)}{2 (2 - x)} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Schritt 3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Schritt 3.4.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{3 (\frac{4 x - 1}{2 x + 3})}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))} + \frac{1}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{3 (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) + 1}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x - 1)}{2 x + 3} + 1}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x - 1)}{2 x + 3} + \frac{2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x - 1) + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 1 + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{12 x + 3 \cdot - 1 + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{12 x - 3 + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.4.4

Addiere $12 x$ und $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{14 x - 3 + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.4.5

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{14 x + 0}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.4.6

Addiere $14 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{14 x}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{14 x}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 (7 x)}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 (7 x)}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3}}$

Schritt 5.2.6.2

Mutltipliziere $\frac{7 x}{2 x + 3}$ mit $\frac{1}{2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{2 (2 x + 3)}{2 x + 3} - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{2 (2 x + 3) - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.3

Schreibe $\frac{2 (2 x + 3) - (4 x - 1)}{2 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{2 (2 x) + 2 \cdot 3 - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 2 \cdot 3 - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - (4 x) + 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - 4 x + 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - 4 x + 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.3.7

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{0 + 6 + 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.3.8

Addiere $0$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{6 + 1}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.7.3.9

Addiere $6$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{7}{2 x + 3})}$

Schritt 5.2.8

Faktorisiere $\frac{7}{2 x + 3}$ aus $\frac{7 x}{(2 x + 3) \frac{7}{2 x + 3}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 x + 3}{7} \cdot \frac{7 x}{2 x + 3}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 3$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 x + 3}{7} \cdot \frac{7 x}{2 x + 3}$

Schritt 5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{1}{7} \cdot (7 (x))$

Schritt 5.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Schritt 5.2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{4 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{4 (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{2 (2) (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{2 \cdot (2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)})) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2 - x}) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{2 - x} + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 2 (2) (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 (2 - x)})) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 2 (\frac{1}{2 - x}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + \frac{2}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere $2$ aus $6 x + 2$ heraus.

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Schritt 5.3.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x) + 2}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.8.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x) + 2 (1)}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (1)$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1)}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1)}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1)}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1) - (2 - x)}{2 - x}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.12

Stelle die Terme um.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1) - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13

Schreibe $\frac{2 (3 x + 1) - (2 - x)}{- x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 1 - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 \cdot 1 - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 1 \cdot 2 + x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 2 + x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13.6

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.3.3.13.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 2 + 1 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 2 + x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13.7

Addiere $6 x$ und $x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x + 2 - 2}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13.8

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x + 0}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.3.13.9

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x}{2 - x} + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x}{2 - x} + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Schritt 5.3.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x}{2 - x} + \frac{1}{2 - x} + 3}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 1}{2 - x} + 3}$

Schritt 5.3.4.5

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 1}{2 - x} + \frac{3 (2 - x)}{2 - x}}$

Schritt 5.3.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 1 + 3 (2 - x)}{2 - x}}$

Schritt 5.3.4.7

Stelle die Terme um.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 3 (2 - x) + 1}{- x + 2}}$

Schritt 5.3.4.8

Schreibe $\frac{3 x + 3 (2 - x) + 1}{- x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 3 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Schritt 5.3.4.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 6 + 3 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Schritt 5.3.4.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 6 - 3 x + 1}{- x + 2}}$

Schritt 5.3.4.8.4

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{0 + 6 + 1}{- x + 2}}$

Schritt 5.3.4.8.5

Addiere $0$ und $6$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{6 + 1}{- x + 2}}$

Schritt 5.3.4.8.6

Addiere $6$ und $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{7}{- x + 2}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{7 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{7}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{7 (x)}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{7}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{7 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{7}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{x}{- x + 2} \cdot (- x + 2)$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $\frac{x}{- x + 2}$ mit $- x + 2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 2$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Schritt 5.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$