Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ als Gleichung.

$y = \frac{2 x + 1}{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y + 1}{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 y + 1}{y} = x$ um.

$\frac{2 y + 1}{y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y + 1}{y} = x$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y + 1}{y} = x$ mit $y$ .

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y + 1 = x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + 1 - x y = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y - x y = - 1$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $2 y - x y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \cdot 2 - x y = - 1$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 2 + y (- x) = - 1$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (- x)$ heraus.

$y (2 - x) = - 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (2 - x) = - 1$ durch $2 - x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (2 - x) = - 1$ durch $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{2 - (\frac{2 x + 1}{x})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x}{x} - \frac{2 x + 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x) - 1 \cdot 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1 \cdot 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{0 - 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{- 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = 1 x$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{1}{2 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1}{- \frac{1}{2 - x}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1) (- (2 - x))$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Multipliziere $2 (- \frac{1}{2 - x})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- 2 \frac{1}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Schritt 5.3.4.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 - x}$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (\frac{- 2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Schritt 5.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Schritt 5.3.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + \frac{2 - x}{2 - x}) (- (2 - x))$

Schritt 5.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (- (2 - x))$

Schritt 5.3.5.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Schritt 5.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Schritt 5.3.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Schritt 5.3.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (- 2 + 2 - x)$

Schritt 5.3.5.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.5.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (0 - x)$

Schritt 5.3.5.5.2

Subtrahiere $x$ von $0$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$