Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 - x}{3 + x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{2 - x}{3 + x}$ als Gleichung.

$y = \frac{2 - x}{3 + x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 - y}{3 + y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 - y}{3 + y} = x$ um.

$\frac{2 - y}{3 + y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 + y, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$3 + y, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 + y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 - y}{3 + y} = x$ mit $3 + y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 - y}{3 + y} = x$ mit $3 + y$ .

$\frac{2 - y}{3 + y} (3 + y) = x (3 + y)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - y}{3 + y} (3 + y) = x (3 + y)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - y = x (3 + y)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - y = x \cdot 3 + x y$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 - y = 3 x + x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 - y - x y = 3 x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y - x y = 3 x - 2$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $- y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \cdot - 1 - x y = 3 x - 2$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot - 1 + y (- x) = 3 x - 2$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 1 + y (- x)$ heraus.

$y (- 1 - x) = 3 x - 2$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- 1 - x) = 3 x - 2$ durch $- 1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- 1 - x) = 3 x - 2$ durch $- 1 - x$ .

$\frac{y (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{3 x}{- 1 - x} + \frac{- 2}{- 1 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{3 x}{- 1 - x} + \frac{- 2}{- 1 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{- 1 - x} + \frac{- 2}{- 1 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x - 2}{- 1 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \frac{3 x - 2}{- 1 (1) - x}$

Schritt 3.4.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{3 x - 2}{- 1 (1) - (x)}$

Schritt 3.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (x)$ heraus.

$y = \frac{3 x - 2}{- 1 (1 + x)}$

Schritt 3.4.4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 - x}{3 + x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2}{1 + \frac{2 - x}{3 + x}}$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2}{1 + \frac{2 - x}{3 + x}}$

Schritt 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 + x$ .

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 \frac{2 - x}{3 + x} - 2}{1 + \frac{2 - x}{3 + x}}$ mit $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{3 + x}{3 + x} \cdot \frac{3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2}{1 + \frac{2 - x}{3 + x}})$

Schritt 5.2.4.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2)}{(3 + x) (1 + \frac{2 - x}{3 + x})}$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 2}{(3 + x) \cdot 1 + (3 + x) (\frac{2 - x}{3 + x})}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + x$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 2}{(3 + x) \cdot 1 + (3 + x) (\frac{2 - x}{3 + x})}$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 2}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $3 + x$ aus $(3 + x) \cdot 3 \frac{2 - x}{3 + x} + (3 + x) \cdot - 2$ heraus.

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Schritt 5.2.7.1.1

Faktorisiere $3 + x$ aus $(3 + x) \cdot 3 \frac{2 - x}{3 + x}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 2}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.1.2

Faktorisiere $3 + x$ aus $(3 + x) \cdot - 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) (- 2)}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.1.3

Faktorisiere $3 + x$ aus $(3 + x) (3 \frac{2 - x}{3 + x}) + (3 + x) (- 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2)}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.2

Kombiniere $3$ und $\frac{2 - x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x)}{3 + x} - 2)}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.3

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x)}{3 + x} - 2 \cdot \frac{3 + x}{3 + x})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x)}{3 + x} + \frac{- 2 (3 + x)}{3 + x})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x) - 2 (3 + x)}{3 + x})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.6

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x) - 2 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.7

Schreibe $\frac{3 (2 - x) - 2 (3 + x)}{x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.7.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x) - 2 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{6 + 3 (- x) - 2 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{6 - 3 x - 2 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{6 - 3 x - 2 \cdot 3 - 2 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.7.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{6 - 3 x - 6 - 2 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.7.6

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{- 3 x + 0 - 2 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.7.7

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{- 3 x - 2 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.7.8

Subtrahiere $2 x$ von $- 3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{- 5 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (- \frac{(5) x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.9

Entferne unnötige Klammern.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) \cdot (- 1 \frac{5 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.7.10

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.8.1

Mutltipliziere $3 + x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{3 + x + 2 - x}$

Schritt 5.2.8.2

Addiere $3$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{x + 5 - x}$

Schritt 5.2.8.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{0 + 5}$

Schritt 5.2.8.4

Addiere $0$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{5}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $\frac{5 x}{x + 3}$ aus $\frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{5}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{5 x}{x + 3} \cdot \frac{- (3 + x)}{5})$

Schritt 5.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.9.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{5 (x)}{x + 3} \cdot \frac{- (3 + x)}{5})$

Schritt 5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{5 x}{x + 3} \cdot \frac{- (3 + x)}{5})$

Schritt 5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{x}{x + 3} \cdot (- (3 + x)))$

Schritt 5.2.9.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (- \frac{x}{x + 3} \cdot (3 + x))$

Schritt 5.2.9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (- \frac{x}{x + 3} \cdot 3 - \frac{x}{x + 3} \cdot x)$

Schritt 5.2.10

Multipliziere $- \frac{x}{x + 3} \cdot 3$ .

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Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (- 3 \frac{x}{x + 3} - \frac{x}{x + 3} \cdot x)$

Schritt 5.2.10.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x}{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x}{x + 3} \cdot x)$

Schritt 5.2.11

Multipliziere $- \frac{x}{x + 3} x$ .

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Schritt 5.2.11.1

Kombiniere $x$ und $\frac{x}{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x \cdot x}{x + 3})$

Schritt 5.2.11.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x \cdot x}{x + 3})$

Schritt 5.2.11.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x \cdot x}{x + 3})$

Schritt 5.2.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x^{1 + 1}}{x + 3})$

Schritt 5.2.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x^{2}}{x + 3})$

Schritt 5.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- 3 x - x^{2}}{x + 3}$

Schritt 5.2.13

Stelle $- 3 x$ und $- x^{2}$ um.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- x^{2} - 3 x}{x + 3}$

Schritt 5.2.14

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 5.2.14.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- x) - 3 x}{x + 3}$

Schritt 5.2.14.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- x) + x \cdot - 3}{x + 3}$

Schritt 5.2.14.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot - 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- x - 3)}{x + 3}$

Schritt 5.2.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 3$ und $x + 3$ .

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Schritt 5.2.15.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- (x) - 3)}{x + 3}$

Schritt 5.2.15.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- (x) - 1 \cdot 3)}{x + 3}$

Schritt 5.2.15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (3)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 5.2.15.4

Schreibe $- (x + 3)$ als $- 1 (x + 3)$ um.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- 1 (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 5.2.15.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- 1 (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 5.2.15.6

Dividiere $x \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (x \cdot (- 1))$

Schritt 5.2.16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.16.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (- 1 x)$

Schritt 5.2.16.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{3 x - 2}{1 + x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{2 - (- \frac{3 x - 2}{1 + x})}{3 - \frac{3 x - 2}{1 + x}}$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{2 - (- \frac{3 x - 2}{1 + x})}{3 - \frac{3 x - 2}{1 + x}}$

Schritt 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 + x$ .

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Schritt 5.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 - - \frac{3 x - 2}{1 + x}}{3 - \frac{3 x - 2}{1 + x}}$ mit $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{2 + \frac{3 x - 2}{1 + x}}{3 - \frac{3 x - 2}{1 + x}}$

Schritt 5.3.4.2

Kombinieren.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2 + \frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) (3 - \frac{3 x - 2}{1 + x})}$

Schritt 5.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 + (1 + x) (- \frac{3 x - 2}{1 + x})}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 5.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x - 2}{1 + x}$ in den Zähler.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 + (1 + x) (\frac{- (3 x - 2)}{1 + x})}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 + (1 + x) (\frac{- (3 x - 2)}{1 + x})}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $1 + x$ aus $(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (- - \frac{3 x - 2}{1 + x})$ heraus.

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Schritt 5.3.7.1.1

Faktorisiere $1 + x$ aus $(1 + x) \cdot 2$ heraus.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2) + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.1.2

Faktorisiere $1 + x$ aus $(1 + x) (2) + (1 + x) (- - \frac{3 x - 2}{1 + x})$ heraus.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2 + \frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.2

Multipliziere $- - \frac{3 x - 2}{1 + x}$ .

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Schritt 5.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2 + 1 (\frac{3 x - 2}{1 + x}))}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.2.2

Mutltipliziere $\frac{3 x - 2}{1 + x}$ mit $1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2 + \frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{2 (1 + x)}{1 + x} + \frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{2 (1 + x) + 3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.5

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{3 x + 2 (1 + x) - 2}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.6

Schreibe $\frac{3 x + 2 (1 + x) - 2}{x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{3 x + 2 \cdot 1 + 2 x - 2}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{3 x + 2 + 2 x - 2}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.6.3

Addiere $3 x$ und $2 x$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x + 2 - 2}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.6.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x + 0}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.7.6.5

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{1 \cdot 3 + x \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + x \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.8.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + 3 \cdot x - (3 x - 2)}$

Schritt 5.3.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + 3 x - (3 x) + 2}$

Schritt 5.3.8.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + 3 x - 3 x + 2}$

Schritt 5.3.8.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + 3 x - 3 x + 2}$

Schritt 5.3.8.7

Addiere $3$ und $2$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 x - 3 x + 5}$

Schritt 5.3.8.8

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{0 + 5}$

Schritt 5.3.8.9

Addiere $0$ und $5$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{5}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.9.1

Faktorisiere $\frac{5 x}{x + 1}$ aus $\frac{(1 + x) \frac{5 x}{x + 1}}{5}$ heraus.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{5 x}{x + 1} \cdot \frac{1 + x}{5}$

Schritt 5.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.9.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{5 (x)}{x + 1} \cdot \frac{1 + x}{5}$

Schritt 5.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{5 x}{x + 1} \cdot \frac{1 + x}{5}$

Schritt 5.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{x}{x + 1} \cdot (1 + x)$

Schritt 5.3.9.3

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 1}$ mit $1 + x$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{x (1 + x)}{x + 1}$

Schritt 5.3.9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + x$ und $x + 1$ .

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Schritt 5.3.9.4.1

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{x (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 5.3.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{x (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 5.3.9.4.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 - x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$