Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ als Gleichung.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + \sqrt{1 + y} = x$ um.

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + y}$ als ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $x^{2} - 2 x$ und $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ um.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{1 + x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{1 + x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{1 + x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{1 + x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ als $1 + x$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x}$ als ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.1.5.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.3.3

Addiere $\sqrt{1 + x}$ und $\sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Schritt 5.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $0$ und $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Schritt 5.2.4.3

Subtrahiere $2 \sqrt{1 + x}$ von $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.4

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} - 2 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.4.1.1

Ordne Terme um.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

Schritt 5.3.4.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Schritt 5.3.4.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

Schritt 5.3.4.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 5.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

Schritt 5.3.5.2

Stelle $2$ und $- x$ um.

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$