Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 - 2 x}{x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3 - 2 (x + h)}{x + h}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$ .

$\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

$f (x) = \frac{3 - 2 x}{x}$

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

$f (x) = \frac{3 - 2 x}{x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h} - (\frac{3 - 2 x}{x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 - 2 x}{x}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{3 - 2 x}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 - 2 x}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x}{(x + h) x} - \frac{3 - 2 x}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{3 - 2 x}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x}{(x + h) x} - \frac{(3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x}{x (x + h)} - \frac{(3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{(3 - 2 x - 2 h) x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 x - 2 x \cdot x - 2 h x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 (x \cdot x) - 2 h x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x + (- 1 \cdot 3 - (- 2 x)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x + (- 3 - (- 2 x)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x + (- 3 + 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Multipliziere $(- 3 + 2 x) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 (x + h) + 2 x (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 x (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 x \cdot x + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.7.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 (x \cdot x) + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 x^{2} + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 2 h x + 0 - 3 h + 2 x^{2} + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 2 h x - 3 h + 2 x^{2} + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $- 2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - 3 h + 0 + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Addiere $- 2 h x$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - 3 h + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Addiere $- 2 h x$ und $2 x h$ .

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Schritt 4.1.5.12.1

Bewege $h$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 2 x h + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12.2

Addiere $- 2 x h$ und $2 x h$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 0}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.13

Addiere $- 3 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 h}{x (x + h)}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{x (x + h)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x (x + h)}$

Schritt 5