Elementarmathematik Beispiele

$x - 3 y + 4 z = - 3$ , $3 x + y - z = 4$ , $- 2 x + 2 y + 3 z = - 5$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $x$ .

$x - 3 y + 4 z = - 3$

$3 x + y - z = 4$

Schritt 2

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 3) \cdot (x - 3 y + 4 z) = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 3) \cdot (x - 3 y + 4 z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 x - 3 (- 3 y) - 3 (4 z) = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- 3 x + 9 y - 3 (4 z) = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- 3 x + 9 y - 12 z = 9$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = 9$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = 9$

$3 x + y - z = 4$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$10 y - 13 z = 13$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $x$ .

$3 x + y - z = 4$

$- 2 x + 2 y + 3 z = - 5$

Schritt 4

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(2) \cdot (3 x + y - z) = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(2) \cdot (3 x + y - z)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 x) + 2 y + 2 (- z) = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x + 2 y + 2 (- z) = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache $(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z)$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$3 (- 2 x) + 3 (2 y) + 3 (3 z) = (3) (- 5)$

Schritt 4.2.3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 3 (2 y) + 3 (3 z) = (3) (- 5)$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 3 (3 z) = (3) (- 5)$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = - 15$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = - 15$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = - 15$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$8 y + 7 z = - 7$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $y$ .

$10 y - 13 z = 13$

$8 y + 7 z = - 7$

Schritt 6

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(- 4) \cdot (10 y - 13 z) = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(- 4) \cdot (10 y - 13 z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (10 y) - 4 (- 13 z) = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Schritt 6.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 4$ .

$- 40 y - 4 (- 13 z) = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 4$ .

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$- 40 y + 52 z = - 52$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache $(5) \cdot (8 y + 7 z)$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 40 y + 52 z = - 52$

$5 (8 y) + 5 (7 z) = (5) (- 7)$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 5 (7 z) = (5) (- 7)$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = - 35$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = - 35$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = - 35$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$87 z = - 87$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $87 z = - 87$ durch $87$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $87 z = - 87$ durch $87$ .

$\frac{87 z}{87} = \frac{- 87}{87}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $87$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{87 z}{87} = \frac{- 87}{87}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 87}{87}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividiere $- 87$ durch $87$ .

$z = - 1$

Schritt 7

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde.

$10 y - 13 \cdot - 1 = 13$

Schritt 7.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 1$ .

$10 y + 13 = 13$

Schritt 7.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y = 13 - 13$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $13$ von $13$ .

$10 y = 0$

Schritt 7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $10 y = 0$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y = 0$ durch $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 7.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{10}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $10$ .

$y = 0$

Schritt 8

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 8.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$x - 3 \cdot 0 + 4 (- 1) = - 3$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $x - 3 \cdot 0 + 4 (- 1)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$x + 0 + 4 (- 1) = - 3$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x + 0 - 4 = - 3$

Schritt 8.2.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$x - 4 = - 3$

Schritt 8.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3 + 4$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$x = 1$

Schritt 9

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(1, 0, - 1)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(1, 0, - 1)$

Gleichungsform:

$x = 1, y = 0, z = - 1$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$