Elementarmathematik Beispiele

$x + y + 1 = 0$ , $x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 = - y$

$x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - y - 1$

$x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$

$x = - y - 1$

$x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- y - 1$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$ durch $- y - 1$ .

${(- y - 1)}^{2} + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(- y - 1)}^{2} + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(- y - 1)}^{2}$ als $(- y - 1) (- y - 1)$ um.

$(- y - 1) (- y - 1) + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(- y - 1) (- y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Multipliziere $- 1 (- y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y + y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Addiere $y$ und $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y) - 3 \cdot - 1 = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y + 3 y - 3 \cdot - 1 = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y + 3 y + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y + 3 y + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 2 y + 1 + 2 y + 3 y + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $2 y$ und $2 y$ .

$2 y^{2} + 4 y + 1 + 3 y + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.2.3

Addiere $4 y$ und $3 y$ .

$2 y^{2} + 7 y + 1 + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 2.2.1.2.4

Addiere $1$ und $3$ .

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 3

Löse in $2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} + 7 y + 4 + 1 = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$2 y^{2} + 7 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 y$ heraus.

$2 y^{2} + 7 (y) + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $7$ um als $2$ plus $5$

$2 y^{2} + (2 + 5) y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y^{2} + 2 y + 5 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 2 y + 5 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 y^{2} + 2 y) + 5 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 y (y + 1) + 5 (y + 1) = 0$

$x = - y - 1$

$2 y (y + 1) + 5 (y + 1) = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y + 1$ .

$(y + 1) (2 y + 5) = 0$

$x = - y - 1$

$(y + 1) (2 y + 5) = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$2 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.5

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

$x = - y - 1$

$y = - 1$

$x = - y - 1$

Schritt 3.6

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ .

$2 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Schritt 3.6.2

Löse $2 y + 5 = 0$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 5$

$x = - y - 1$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

Schritt 3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y + 1) (2 y + 5) = 0$ wahr machen.

$y = - 1, - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - 1, - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - y - 1$ durch $- 1$ .

$x = - (- 1) - 1$

$y = - 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache $- (- 1) - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 - 1$

$y = - 1$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{5}{2}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = - y - 1$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$x = - (- \frac{5}{2}) - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache $- (- \frac{5}{2}) - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $- (- \frac{5}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{2}) - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{5}{2} - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2} - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{5 - 2}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.5.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, - 1)$

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, - 1), (\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Gleichungsform:

$x = 0, y = - 1$

$x = \frac{3}{2}, y = - \frac{5}{2}$

Schritt 8