Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 25$ , $x + y = 8$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8 - y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $8 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 25$ durch $8 - y$ .

${(8 - y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(8 - y)}^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(8 - y)}^{2}$ als $(8 - y) (8 - y)$ um.

$(8 - y) (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(8 - y) (8 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (8 - y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$64 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$64 - 8 y - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$64 - 8 y - 8 y - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$64 - 8 y - 8 y + 1 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $8 y$ von $- 8 y$ .

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Schritt 3

Löse in $64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 - 16 y + 2 y^{2} - 25 = 0$

$x = 8 - y$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $25$ von $64$ .

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 16$ und $c = 39$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 39)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $39$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.3

Subtrahiere $312$ von $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $- 56$ als $- 1 (56)$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (56)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.7

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 3.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ .

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $39$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $312$ von $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $- 56$ als $- 1 (56)$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (56)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.7

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 3.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ .

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $39$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.3

Subtrahiere $312$ von $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $- 56$ als $- 1 (56)$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (56)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.7

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 3.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ .

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 8 - y$ durch $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ .

$x = 8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 8 - y$ durch $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ .

$x = 8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}, y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}, y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Schritt 7