Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 2.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = \frac{- x}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- x) = - \frac{x}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f (- x) = - \frac{x}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Schritt 2.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (- x) = - \frac{x}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$f (- x) = - \frac{x}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Schritt 2.6

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Schritt 2.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{x}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Schritt 2.10.3

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f (- x) = - \frac{x}{(x - 1) (x + 1)}$

Schritt 3

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 3.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 3.2

Da $- \frac{x}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 4

Eine Funktion ist ungerade, wenn $f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.2

Da $- \frac{x}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ , ist die Funktion ungerade.

Die Funktion ist ungerade

Schritt 5