Elementarmathematik Beispiele

$\sin (2 θ) = \cos (2 θ)$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (2 θ)$ .

$\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)} = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

Schritt 2

Wandle von $\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)}$ nach $\tan (2 θ)$ um.

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 θ)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (2 θ) = 1$

Schritt 4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$2 θ = \arctan (1)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$2 θ = \frac{π}{4}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Schritt 7

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$2 θ = π + \frac{π}{4}$

Schritt 8

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 8.1.4

Addiere $π \cdot 4$ und $π$ .

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Schritt 8.1.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

$2 θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 8.1.4.2

Addiere $4 \cdot π$ und $π$ .

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 8.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\tan (2 θ)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\tan (2 θ)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$