Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - x + 1$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 x^{2} - x + 1$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = - 1$

$c = 1$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{8 - 1}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$e = \frac{7}{8}$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$ ein.

$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = \frac{1}{4}$

$k = \frac{7}{8}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{4}, 1)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{3}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Brennpunkt: $(\frac{1}{4}, 1)$

Symmetrieachse: $x = \frac{1}{4}$

Leitlinie: $y = \frac{3}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Brennpunkt: $(\frac{1}{4}, 1)$

Symmetrieachse: $x = \frac{1}{4}$

Leitlinie: $y = \frac{3}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - (- 1) + 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 1) = 2 - (- 1) + 1$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 1 + 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- 1) = 3 + 1$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f (- 1) = 4$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} - (- 2) + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 - (- 2) + 1$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- 2) = 8 - (- 2) + 1$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 8 + 2 + 1$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $8$ und $2$ .

$f (- 2) = 10 + 1$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $10$ und $1$ .

$f (- 2) = 11$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $11$ .

$11$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $11$ .

$y = 11$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 2 \cdot 1 - (1) + 1$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = 2 - (1) + 1$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = 2 - 1 + 1$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (1) = 1 + 1$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = 2$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) + 1$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ .

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Schritt 2.11.1.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) + 1$

Schritt 2.11.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (2) = 2^{1 + 2} - (2) + 1$

Schritt 2.11.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (2) = 2^{3} - (2) + 1$

Schritt 2.11.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = 8 - (2) + 1$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = 8 - 2 + 1$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$f (2) = 6 + 1$

Schritt 2.11.2.2

Addiere $6$ und $1$ .

$f (2) = 7$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $7$ .

$y = 7$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 4 \\ \frac{1}{4} & \frac{7}{8} \\ 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Brennpunkt: $(\frac{1}{4}, 1)$

Symmetrieachse: $x = \frac{1}{4}$

Leitlinie: $y = \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 4 \\ \frac{1}{4} & \frac{7}{8} \\ 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

Schritt 4