Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - x^{2} (x + 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 1

Identifiziere den Grad der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x^{2} x - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Bewege $x$ .

$(- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(- (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(- x^{3} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.4

Multipliziere $(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{3} (x^{2} - 1) - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$- (x^{2} x^{3}) - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{2 + 3} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.5.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$- x^{5} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.5.2

Multipliziere $- x^{3} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- x^{5} + 1 x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.5.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.5.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} + 4 x^{2}$

Schritt 1.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$5$

Schritt 2

Da der Grad ungerade ist, werden die Enden der Funktion in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Ungerade

Schritt 3

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache das Polynom, dann ordne es von links nach rechts neu an, beginnend mit dem Term höchsten Grades.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x^{2} x - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Bewege $x$ .

$(- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(- (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 3.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(- x^{3} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{3} (x^{2} - 1) - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Schritt 3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Schritt 3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.1.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.5.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.5.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$- (x^{2} x^{3}) - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.1.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{2 + 3} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.1.5.1.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$- x^{5} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.1.5.1.2

Multipliziere $- x^{3} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- x^{5} + 1 x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.1.5.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.5.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.1.5.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.1.5.1.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.1.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} + 4 x^{2}$

Schritt 3.1.5.2

Bewege $x^{3}$ .

$- x^{5} - 4 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2}$

Schritt 3.2

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$- x^{5}$

Schritt 3.3

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$- 1$

Schritt 4

Da der Leitkoeffizient negativ ist, fällt der Graph nach rechts ab.

Negativ

Schritt 5

Benutze den Grad der Funktion sowie das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Verhalten zu bestimmen.

1. Gerade und Positiv: Steigt nach links und rechts an.

2. Gerade und Negativ: Fällt nach links und nach rechts ab.

3. Ungerade und Positiv: Fällt nach links ab und steigt nach rechts an.

4. Ungerade und Negativ: Steigt nach links an und fällt nach rechts ab

Schritt 6

Bestimme das Verhalten.

Steigt nach links an und fällt nach rechts ab

Schritt 7