Elementarmathematik Beispiele

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ durch $\sec (\frac{θ}{2})$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ durch $\sec (\frac{θ}{2})$ .

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (\frac{θ}{2})$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\sec (\frac{θ}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

Schritt 1.3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ zu dividieren.

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Schritt 1.3.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.3.1

Potenziere $\cos (\frac{θ}{2})$ mit $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $\cos (\frac{θ}{2})$ mit $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

Schritt 1.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

Schritt 1.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ um.

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Schritt 7

Löse in $\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$\frac{θ}{2} = 0$

Schritt 7.3

Setze den Zähler gleich Null.

$θ = 0$

Schritt 7.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

Schritt 7.5

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 7.5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Schritt 7.5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Schritt 7.5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = 2 (2 π - 0)$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.2.2.1

Vereinfache $2 (2 π - 0)$ .

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Schritt 7.5.2.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$θ = 2 (2 π)$

Schritt 7.5.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = 4 π$

Schritt 7.6

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{θ}{2})$ .

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Schritt 7.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.6.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.6.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 7.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{θ}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse in $\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$\frac{θ}{2} = π$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Schritt 8.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Schritt 8.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = 2 π$

Schritt 8.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

Schritt 8.6

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 8.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Schritt 8.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Schritt 8.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = 2 (2 π - π)$

Schritt 8.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.6.2.2.1

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$θ = 2 π$

Schritt 8.7

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{θ}{2})$ .

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Schritt 8.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 8.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 8.8

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{θ}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$