Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{16 - y^{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{16 - y^{2}} = x$ um.

$\sqrt{16 - y^{2}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{16 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 - y^{2}}$ als ${(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(16 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$16 - y^{2} = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = x^{2} - 16$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = x^{2} - 16$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = x^{2} - 16$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Dividiere $- 16$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 16$

Schritt 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 16}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- x^{2} + 16}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.2

Stelle $- x^{2}$ und $4^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 3.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 3.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, 4]$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Schritt 5.3.2.2

Setze $4 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Setze $4 + x$ gleich $0$ .

$4 + x = 0$

Schritt 5.3.2.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5.3.2.3

Setze $4 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.1

Setze $4 - x$ gleich $0$ .

$4 - x = 0$

Schritt 5.3.2.3.2

Löse $4 - x = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 5.3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 5.3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4$

Schritt 5.3.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 5.3.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 5.3.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.1.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.3.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.2.3

Die linke Seite $16$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.3.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.3.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 5.3.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x \leq 4$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 4, 4]$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6