Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x^{2} - 5}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 5}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 5 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 5$

Schritt 2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{5}$

Schritt 2.4

Schreibe $| x | \geq \sqrt{5}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq \sqrt{5}$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq \sqrt{5}$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq \sqrt{5}$ und $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq \sqrt{5}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq \sqrt{5}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Schritt 2.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{5}$ als $- \sqrt{5}$ um.

$x \leq - \sqrt{5}$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - \sqrt{5}$ oder $x \geq \sqrt{5}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \sqrt{5}, x \geq \sqrt{5}}$

Schritt 4