Elementarmathematik Beispiele

Finde die Nullstellen f(x)=x^3-3x^2+4x-2
Schritt 1
Setze gleich .
Schritt 2
Löse nach auf.
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Schritt 2.1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
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Schritt 2.1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 2.1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 2.1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
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Schritt 2.1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 2.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 2.1.3.3
Potenziere mit .
Schritt 2.1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3.5
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3.7
Addiere und .
Schritt 2.1.3.8
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 2.1.5
Dividiere durch .
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Schritt 2.1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
--+-
Schritt 2.1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
--+-
Schritt 2.1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
--+-
+-
Schritt 2.1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
--+-
-+
Schritt 2.1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
--+-
-+
-
Schritt 2.1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
--+-
-+
-+
Schritt 2.1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-
--+-
-+
-+
Schritt 2.1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-
--+-
-+
-+
-+
Schritt 2.1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-
--+-
-+
-+
+-
Schritt 2.1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-
--+-
-+
-+
+-
+
Schritt 2.1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-
--+-
-+
-+
+-
+-
Schritt 2.1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
Schritt 2.1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
+-
Schritt 2.1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
-+
Schritt 2.1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
-+
Schritt 2.1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 2.1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 2.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 2.3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 2.3.1
Setze gleich .
Schritt 2.3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 2.4.1
Setze gleich .
Schritt 2.4.2
Löse nach auf.
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Schritt 2.4.2.1
Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.
Schritt 2.4.2.2
Setze die Werte , und in die Quadratformel ein und löse nach auf.
Schritt 2.4.2.3
Vereinfache.
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Schritt 2.4.2.3.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 2.4.2.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.4.2.3.1.2
Multipliziere .
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Schritt 2.4.2.3.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.2.3.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.2.3.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.4.2.3.1.4
Schreibe als um.
Schritt 2.4.2.3.1.5
Schreibe als um.
Schritt 2.4.2.3.1.6
Schreibe als um.
Schritt 2.4.2.3.1.7
Schreibe als um.
Schritt 2.4.2.3.1.8
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.4.2.3.1.9
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.4.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.2.3.3
Vereinfache .
Schritt 2.4.2.4
Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.
Schritt 2.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 3