Elementarmathematik Beispiele

Finde die Nullstellen mithilfe des Lemmas von Gauß x^3-2x^2-25x+50
Schritt 1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 3
Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.
Schritt 4
Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
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Schritt 4.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.1.2
Potenziere mit .
Schritt 4.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 4.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.3
Addiere und .
Schritt 5
Da eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.
Schritt 6
Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um reduziert worden.
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Schritt 6.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
  
Schritt 6.2
Die erste Zahl im Dividenden wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
  
Schritt 6.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis mit dem Divisor und schreibe das Ergebnis von unter den nächsten Term im Dividenden .
  
Schritt 6.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
  
Schritt 6.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis mit dem Divisor und schreibe das Ergebnis von unter den nächsten Term im Dividenden .
  
Schritt 6.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
  
Schritt 6.7
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis mit dem Divisor und schreibe das Ergebnis von unter den nächsten Term im Dividenden .
 
Schritt 6.8
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
 
Schritt 6.9
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
Schritt 6.10
Vereinfache das Quotientenpolynom.
Schritt 7
Schreibe als um.
Schritt 8
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 9
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 9.1
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 9.1.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 9.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 9.2
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 9.3
Schreibe als um.
Schritt 9.4
Faktorisiere.
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Schritt 9.4.1
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 9.4.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 10
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 11
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 11.1
Setze gleich .
Schritt 11.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 12
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 12.1
Setze gleich .
Schritt 12.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 13
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 13.1
Setze gleich .
Schritt 13.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 14
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 15