Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 18 x + 9$

Schritt 1

Setze $2 x^{3} - x^{2} - 18 x + 9$ gleich $0$ .

$2 x^{3} - x^{2} - 18 x + 9 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 18 x + 9 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (2 x - 1) - 9 (2 x - 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(2 x - 1) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(2 x - 1) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 3, 3$

Schritt 3