Elementarmathematik Beispiele

$\frac{5 + i}{5 - i}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{5 + i}{5 - i}$ mit der Konjugierten von $5 - i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{5 + i}{5 - i} \cdot \frac{5 + i}{5 + i}$

Schritt 2

Multipliziere.

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Schritt 2.1

Kombinieren.

$\frac{(5 + i) (5 + i)}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $(5 + i) (5 + i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (5 + i) + i (5 + i)}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 i + i (5 + i)}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 i + i \cdot 5 + i i}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25 + 5 i + i \cdot 5 + i i}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.2.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 \cdot i + i i}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.2.1.3

Multipliziere $i i$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{1} i}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{1} i^{1}}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{1 + 1}}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{2}}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.2.1.4

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{25 + 5 i + 5 i - 1}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$\frac{24 + 5 i + 5 i}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $5 i$ und $5 i$ .

$\frac{24 + 10 i}{(5 - i) (5 + i)}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $(5 - i) (5 + i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 + 10 i}{5 (5 + i) - i (5 + i)}$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 + 10 i}{5 \cdot 5 + 5 i - i (5 + i)}$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 + 10 i}{5 \cdot 5 + 5 i - i \cdot 5 - i i}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - i \cdot 5 - i i}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - i i}$

Schritt 2.3.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - (i^{1} i)}$

Schritt 2.3.2.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - (i^{1} i^{1})}$

Schritt 2.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - i^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - i^{2}}$

Schritt 2.3.2.7

Subtrahiere $5 i$ von $5 i$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 0 - i^{2}}$

Schritt 2.3.2.8

Addiere $25$ und $0$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 - i^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{24 + 10 i}{25 - - 1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 1}$

Schritt 2.3.4

Addiere $25$ und $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{26}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24 + 10 i$ und $26$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{2 (12) + 10 i}{26}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $10 i$ heraus.

$\frac{2 (12) + 2 (5 i)}{26}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (12) + 2 (5 i)$ heraus.

$\frac{2 (12 + 5 i)}{26}$

Schritt 3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$\frac{2 (12 + 5 i)}{2 \cdot 13}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (12 + 5 i)}{2 \cdot 13}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 + 5 i}{13}$

Schritt 4

Zerlege den Bruch $\frac{12 + 5 i}{13}$ in zwei Brüche.

$\frac{12}{13} + \frac{5 i}{13}$