Gib eine Aufgabe ein ...
Elementarmathematik Beispiele
Schritt 1
Gruppiere die Terme um.
Schritt 2
Schritt 2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3
Schritt 3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4
Schritt 4.1
Faktorisiere durch Gruppieren.
Schritt 4.1.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Schritt 4.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 4.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Schritt 4.1.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 4.1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 4.1.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 4.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 5
Schritt 5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 7
Schritt 7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.1
Potenziere mit .
Schritt 7.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.2
Addiere und .
Schritt 8
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 9
Stelle die Terme um.
Schritt 10
Schritt 10.1
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
Schritt 10.1.1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Schritt 10.1.1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 10.1.1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 10.1.1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Schritt 10.1.1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 10.1.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 10.1.1.3.3
Potenziere mit .
Schritt 10.1.1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.1.1.3.5
Subtrahiere von .
Schritt 10.1.1.3.6
Addiere und .
Schritt 10.1.1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 10.1.1.5
Dividiere durch .
Schritt 10.1.1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
+ | - | + | + |
Schritt 10.1.1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+ | - | + | + |
Schritt 10.1.1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+ | - | + | + | ||||||||
+ | + |
Schritt 10.1.1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+ | - | + | + | ||||||||
- | - |
Schritt 10.1.1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- |
Schritt 10.1.1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + |
Schritt 10.1.1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | |||||||||||
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + |
Schritt 10.1.1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | |||||||||||
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | - |
Schritt 10.1.1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | |||||||||||
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + |
Schritt 10.1.1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | |||||||||||
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ |
Schritt 10.1.1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
- | |||||||||||
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
Schritt 10.1.1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | + | ||||||||||
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
Schritt 10.1.1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | + | ||||||||||
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
Schritt 10.1.1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | + | ||||||||||
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Schritt 10.1.1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | + | ||||||||||
+ | - | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
Schritt 10.1.1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 10.1.1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 10.1.2
Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.
Schritt 10.1.2.1
Schreibe als um.
Schritt 10.1.2.2
Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.
Schritt 10.1.2.3
Schreibe das Polynom neu.
Schritt 10.1.2.4
Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat , wobei und .
Schritt 10.2
Entferne unnötige Klammern.