Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$

Schritt 1

Setze $x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ gleich $0$ .

$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 5 x^{2}) - 4 x + 20 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 5) - 4 (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 5$ .

$(x - 5) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 5$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 2$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 2$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 5$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 2$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 2$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3