Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, x + 2, 2$

Schritt 1.2

Since $x, x + 2, 2$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Schritte, um das kgV für $x, x + 2, 2$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 2$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $x^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $x + 2$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.5

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 1.6

Das kgV von $1, 1, 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 1.7

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 1.8

Das kgV von $x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x$

Schritt 1.9

Der Teiler von $x + 2$ ist $x + 2$ selbst.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.10

Das kgV von $x + 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x + 2$

Schritt 1.11

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$2 x (x + 2)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ mit $2 x (x + 2)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ mit $2 x (x + 2)$ .

$\frac{1}{x} (2 x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (x + 2) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 \cdot 2 + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x + 4 + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x + 4 + 2 \frac{1}{x + 2} (x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x + 2}$ .

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} (x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 2.2.1.8.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $x (x + 2)$ heraus.

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) x) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) x) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 4 + 2 x = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.2.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x + 2)$ heraus.

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 (x (x + 2)))$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 (x (x + 2)))$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x + 4 = x (x + 2)$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 2$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x \cdot 2$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + 2 x$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x = 4 x + 4$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - 4 x = 4$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $2 x$ .

$x^{2} - 2 x = 4$

Schritt 3.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$