Elementarmathematik Beispiele

$2^{x - 1} = 10$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x - 1}) = \ln (10)$

Schritt 2

Zerlege $\ln (2^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(x - 1) \ln (2) = \ln (10)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(x - 1) \ln (2)$ .

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (10)$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$x \ln (2) - \ln (2) = \ln (10)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) - \ln (2) - \ln (10) = 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $\ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) - \ln (10) = \ln (2)$

Schritt 5.2

Addiere $\ln (10)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) = \ln (2) + \ln (10)$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (2) + \ln (10)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (2) + \ln (10)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (10)}{\ln (2)}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (10)}{\ln (2)}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (10)}{\ln (2)}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (10)}{\ln (2)}$

Schritt 6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 + \frac{\ln (10)}{\ln (2)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 1 + \frac{\ln (10)}{\ln (2)}$

Dezimalform:

$x = 4.32192809 \dots$