Elementarmathematik Beispiele

$x^{\frac{4}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{4}{3}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ um.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 6 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{2}{3}}$ .

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 5 u + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{\frac{2}{3}} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{\frac{2}{3}} - 3$ gleich $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{2}{3}} = 3$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4

Setze $x^{\frac{2}{3}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{\frac{2}{3}} - 2$ gleich $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{2}{3}} = 2$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{\frac{2}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Dezimalform:

$x = 5.19615242 \dots, - 5.19615242 \dots, 2.82842712 \dots, - 2.82842712 \dots$