Elementarmathematik Beispiele

$3 (5^{x - 1}) = 21$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cdot 5^{x - 1} = 21$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cdot 5^{x - 1} = 21$ durch $3$ .

$\frac{3 \cdot 5^{x - 1}}{3} = \frac{21}{3}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 5^{x - 1}}{3} = \frac{21}{3}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $5^{x - 1}$ durch $1$ .

$5^{x - 1} = \frac{21}{3}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Dividiere $21$ durch $3$ .

$5^{x - 1} = 7$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x - 1}) = \ln (7)$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(x - 1) \ln (5) = \ln (7)$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x - 1) \ln (5)$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) - 1 \ln (5) = \ln (7)$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x \ln (5) - \ln (5) = \ln (7)$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (5) - \ln (5) - \ln (7) = 0$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Addiere $\ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) - \ln (7) = \ln (5)$

Schritt 6.2

Addiere $\ln (7)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) = \ln (5) + \ln (7)$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (5) + \ln (7)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (5) + \ln (7)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Schritt 7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 + \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 1 + \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 2.20906195 \dots$