Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 5$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 3, \pm 0.6$

Schritt 1.3

Setze $0.6$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.6$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $0.6$ in das Polynom ein.

$5 \cdot {0.6}^{3} + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Schritt 1.3.2

Potenziere $0.6$ mit $3$ .

$5 \cdot 0.216 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $0.216$ .

$1.08 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Schritt 1.3.4

Potenziere $0.6$ mit $2$ .

$1.08 + 7 \cdot 0.36 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $7$ mit $0.36$ .

$1.08 + 2.52 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Schritt 1.3.6

Addiere $1.08$ und $2.52$ .

$3.6 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 11$ mit $0.6$ .

$3.6 - 6.6 + 3$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $6.6$ von $3.6$ .

$- 3 + 3$

Schritt 1.3.9

Addiere $- 3$ und $3$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $0.6$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $5 x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3}{5 x - 3}$

Schritt 1.5

Dividiere $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ durch $5 x - 3$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$5 x$

$3$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$3$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

					$x^{2}$
	$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			+	$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							-	$5 x$	+	$3$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x + 3$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 1.6

Schreibe $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ als eine Menge von Faktoren.

$(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $5 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 3$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 2 x - 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 0.6, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$