Elementarmathematik Beispiele

$x^{6} - 8 x^{3} - 9 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - 8 x^{3} - 9 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 8 u - 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 9$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 9, 1$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u + 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(x^{3} - 9) (x^{3} + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} - 9 = 0$

$x^{3} + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{3} - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{3} - 9$ gleich $0$ .

$x^{3} - 9 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{3} - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 9$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{9}$

Schritt 4

Setze $x^{3} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{3} + 1$ gleich $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{3} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 1 = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Schritt 4.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 4.2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.2.6

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 4.2.6.2

Löse $x^{2} - x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{3} - 9) (x^{3} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt[3]{9}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$