Elementarmathematik Beispiele

$4^{1 - x} = 3^{2 x + 5}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (4^{1 - x}) = \ln (3^{2 x + 5})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (4^{1 - x})$ durch Herausziehen von $1 - x$ aus dem Logarithmus.

$(1 - x) \ln (4) = \ln (3^{2 x + 5})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (3^{2 x + 5})$ durch Herausziehen von $2 x + 5$ aus dem Logarithmus.

$(1 - x) \ln (4) = (2 x + 5) \ln (3)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(1 - x) \ln (4)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (1 - x) \ln (4) = (2 x + 5) \ln (3)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(1 - x) \ln (4) = (2 x + 5) \ln (3)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \ln (4) - x \ln (4) = (2 x + 5) \ln (3)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\ln (4)$ mit $1$ .

$\ln (4) - x \ln (4) = (2 x + 5) \ln (3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (4) - x \ln (4) = 2 x \ln (3) + 5 \ln (3)$

Schritt 4.3

Subtrahiere $2 x \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (4) - x \ln (4) - 2 x \ln (3) = 5 \ln (3)$

Schritt 4.4

Subtrahiere $\ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (4) - 2 x \ln (3) = 5 \ln (3) - \ln (4)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (4) - 2 x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (4)$ heraus.

$x (- 1 \ln (4)) - 2 x \ln (3) = 5 \ln (3) - \ln (4)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (3)$ heraus.

$x (- 1 \ln (4)) + x (- 2 \ln (3)) = 5 \ln (3) - \ln (4)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \ln (4)) + x (- 2 \ln (3))$ heraus.

$x (- 1 \ln (4) - 2 \ln (3)) = 5 \ln (3) - \ln (4)$

Schritt 4.6

Schreibe $- 1 \ln (4)$ als $- \ln (4)$ um.

$x (- \ln (4) - 2 \ln (3)) = 5 \ln (3) - \ln (4)$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (4) - 2 \ln (3)) = 5 \ln (3) - \ln (4)$ durch $- \ln (4) - 2 \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (4) - 2 \ln (3)) = 5 \ln (3) - \ln (4)$ durch $- \ln (4) - 2 \ln (3)$ .

$\frac{x (- \ln (4) - 2 \ln (3))}{- \ln (4) - 2 \ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{- \ln (4) - 2 \ln (3)} + \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (4) - 2 \ln (3)$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- \ln (4) - 2 \ln (3))}{- \ln (4) - 2 \ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{- \ln (4) - 2 \ln (3)} + \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5 \ln (3)}{- \ln (4) - 2 \ln (3)} + \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 \ln (3) - \ln (4)}{- \ln (4) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{5 \ln (3) - \ln (4)}{- \ln (4) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{5 \ln (3) - \ln (4)}{- \ln (4) - (2 \ln (3))}$

Schritt 4.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4) - (2 \ln (3))$ heraus.

$x = \frac{5 \ln (3) - \ln (4)}{- (\ln (4) + 2 \ln (3))}$

Schritt 4.7.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 4.7.3.5.1

Schreibe $- (\ln (4) + 2 \ln (3))$ als $- 1 (\ln (4) + 2 \ln (3))$ um.

$x = \frac{5 \ln (3) - \ln (4)}{- 1 (\ln (4) + 2 \ln (3))}$

Schritt 4.7.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \ln (3) - \ln (4)}{\ln (4) + 2 \ln (3)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{5 \ln (3) - \ln (4)}{\ln (4) + 2 \ln (3)}$

Dezimalform:

$x = - 1.14601517 \dots$