Elementarmathematik Beispiele

$\frac{9 - x^{2}}{x^{3} - 27}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - x^{2}}{x^{3} - 27}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{x^{3} - 27}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{x^{3} - 3^{3}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2})}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - x$ und $x - 3$ .

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Schritt 3.1.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{(3 + x) (- 1 (- 3) - x)}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(3 + x) (- 1 (- 3) - (x))}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (x)$ heraus.

$\frac{(3 + x) (- 1 (- 3 + x))}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}$

Schritt 3.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(3 + x) (- 1 (x - 3))}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 + x) (- 1 (x - 3))}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}$

Schritt 3.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 + x) \cdot (- 1)}{x^{2} + 3 x + 9}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $3 + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (3 + x)}{x^{2} + 3 x + 9}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 + x}{x^{2} + 3 x + 9}$