Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{x - h}{r})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x - h}{r}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x - h}{r})}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x - h}{r})}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - (x - h)}{r}}$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{r - (x - h)}{r}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x - - h}{r}}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere $- - h$ .

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + 1 h}{r}}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{r + x - h}{r}$ mit $\frac{r - x + h}{r}$ .

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r \cdot r}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}$ als ${(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))$ um.

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Schritt 6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(r + x - h) (r - x + h)$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2}}}$

Schritt 6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $r^{2}$ aus $r^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}$

Schritt 7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{r} \sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{r}$ und $\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$ .

$\frac{\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}}{r}$