Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\tan (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 7.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$ heraus.

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ heraus.

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.1.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.1.2.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.4

Kombinieren.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x)$ und ${\sin (x)}^{2}$ .

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.5.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Schritt 8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Schritt 8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $1 + \cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 9

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\csc (x) (1 + \sec (x))$

Schritt 10

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 10.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \sec (x))$

Schritt 10.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 12

Addiere Brüche.

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Schritt 12.1

Um $\frac{1}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 14

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$ ist eine Identitätsgleichung