Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{4} (2 x + 1)}$

Schritt 1

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} (2 x + 1)$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

Schritt 1.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1}$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2}}$

Schritt 2.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{1 + 2} + x^{2}}$

Schritt 2.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 4.1.2

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}}}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{1}{x}}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 - 1 \cdot 4$ und $2 + 0$ .

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Schritt 8.1.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 4$ heraus.

$\frac{- 1 (0) - 1 (4)}{2 + 0}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (0) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{- 1 (0 + 4)}{2 + 0}$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (0 + 4)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 + 0}$

Schritt 8.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 (1) + 0}$

Schritt 8.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

Schritt 8.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

Schritt 8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

Schritt 8.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (0 + 2)}{1 + 0}$

Schritt 8.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{1 + 0}$

Schritt 8.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{1}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Schritt 8.5

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2$