Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ und ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ aus ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $k$ und $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $k$ von $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$r = \frac{2}{3}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $k$ in $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ ein.

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Schritt 3.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

Schritt 3.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 4 \cdot 1$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$a = 4$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

Schritt 5.1.2

Kombinieren.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ in den Zähler.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{8}$ heraus.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.4

Potenziere $2$ mit $8$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.5

Potenziere $3$ mit $7$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.8

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $2187$ .

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.4.11.2

Subtrahiere $256$ von $6561$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

Schritt 5.6

Dividiere $\frac{6305}{2187}$ durch $1$ .

$4 (\frac{6305}{2187})$

Schritt 5.7

Multipliziere $4 (\frac{6305}{2187})$ .

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $4$ und $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $6305$ .

$\frac{25220}{2187}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{25220}{2187}$

Dezimalform:

$11.53177869 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$11 \frac{1163}{2187}$