Elementarmathematik Beispiele

$(3, \frac{2 π}{3})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(3)}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 π}{3}$ an.

$r = \sqrt{9 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $2 π$ an.

$r = \sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Kombiniere $9$ und $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$r = \sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Schreibe $\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$ als $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.9.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{2 π}{3}}{3})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{2 π}{9}$ ist $θ = 34.92011439 °$ .

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = 34.92011439 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}, 34.92011439 °)$