Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 3, 2)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{144 + 25}$

Schritt 5.3.3

Addiere $144$ und $25$ .

$\sqrt{169}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$\sqrt{13^{2}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$13$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(9, 2)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 15, 2)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(9, 2), (- 15, 2)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(10, 2)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 16, 2)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(10, 2), (- 16, 2)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

Schritt 8.3.3

Addiere $144$ und $25$ .

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

Schritt 8.3.4

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

Schritt 8.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{13}{12}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{5^{2}}{13}$

Schritt 9.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{25}{13}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{5}{12}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Schritt 11.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Schritt 11.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

Schritt 11.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

Schritt 11.2.5.2

Addiere $5$ und $8$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Schritt 12.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{12}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

Schritt 12.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Schritt 12.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Schritt 12.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Schritt 12.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.5.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Schritt 12.2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

Schritt 12.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

Schritt 12.2.5.2

Addiere $- 5$ und $8$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(- 3, 2)$

Scheitelpunkte: $(9, 2), (- 15, 2)$

Brennpunkte: $(10, 2), (- 16, 2)$

Exzentrizität: $\frac{13}{12}$

Fokaler Parameter: $\frac{25}{13}$

Asymptoten: $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Schritt 15