Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\tan (x) - \sin (- x)}{1 + \cos (x)} = \tan (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan (x) - \sin (- x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$\frac{\tan (x) - - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 3

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 4.1.2

Kombinieren.

$\frac{\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - - \sin (x))}{\cos (x) (1 + \cos (x))}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- - \sin (x))}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- - \sin (x))}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) (- - \sin (x))}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) + \cos (x) (- - \sin (x))$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) (- - \sin (x))}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\cos (x) (- - \sin (x))$ heraus.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x) (- - 1))}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x) (- - 1))$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x) (- - 1))}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x) \cdot 1)}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x) (1) + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x) (1) + \cos (x) (\cos (x))}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (1) + \cos (x) (\cos (x))$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x) (1 + \cos (x))}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als $\tan (x)$ um.

$\tan (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan (x) - \sin (- x)}{1 + \cos (x)} = \tan (x)$ ist eine Identitätsgleichung