Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 1)$ durch $1$ .

$1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Schritt 1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Schritt 1.5.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.1

Bewege $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 1.5.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.6

Bewege $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 3.4

Löse in $0 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 0$ um.

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Schritt 4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.2

Addiere $(- 1) \cdot x$ und $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}$