Elementarmathematik Beispiele

5^{x - 2} = 3^{3 x + 2}

$5^{x - 2} = 3^{3 x + 2}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

ln (5^{x - 2}) = ln (3^{3 x + 2})

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3^{3 x + 2})$

Schritt 2

Zerlege

ln (5^{x - 2})

$\ln (5^{x - 2})$ durch Herausziehen von

x - 2

$x - 2$ aus dem Logarithmus.

(x - 2) ln (5) = ln (3^{3 x + 2})

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3^{3 x + 2})$

Schritt 3

Zerlege

ln (3^{3 x + 2})

$\ln (3^{3 x + 2})$ durch Herausziehen von

3 x + 2

$3 x + 2$ aus dem Logarithmus.

(x - 2) ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache

(x - 2) ln (5)

$(x - 2) \ln (5)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

0 + 0 + (x - 2) ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$0 + 0 + (x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

(x - 2) ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

x ln (5) - 2 ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

x ln (5) - 2 ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

x ln (5) - 2 ln (5) = 3 x ln (3) + 2 ln (3)

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = 3 x \ln (3) + 2 \ln (3)$

Schritt 4.3

Subtrahiere

3 x ln (3)

$3 x \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

x ln (5) - 2 ln (5) - 3 x ln (3) = 2 ln (3)

$x \ln (5) - 2 \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3)$

Schritt 4.4

Addiere

2 ln (5)

$2 \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x ln (5) - 3 x ln (3) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Schritt 4.5

Faktorisiere

x

$x$ aus

x ln (5) - 3 x ln (3)

$x \ln (5) - 3 x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

x ln (5)

$x \ln (5)$ heraus.

x (ln (5)) - 3 x ln (3) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5)) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere

x

$x$ aus

- 3 x ln (3)

$- 3 x \ln (3)$ heraus.

x (ln (5)) + x (- 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere

x

$x$ aus

x (ln (5)) + x (- 3 ln (3))

$x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3))$ heraus.

x (ln (5) - 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

x (ln (5) - 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in

x (ln (5) - 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ durch

ln (5) - 3 ln (3)

$\ln (5) - 3 \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in

x (ln (5) - 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ durch

ln (5) - 3 ln (3)

$\ln (5) - 3 \ln (3)$ .

\frac{x (ln (5) - 3 ln (3))}{ln (5) - 3 ln (3)} = \frac{2 ln (3)}{ln (5) - 3 ln (3)} + \frac{2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

ln (5) - 3 ln (3)

$\ln (5) - 3 \ln (3)$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{x (ln (5) - 3 ln (3))}{ln (5) - 3 ln (3)} = \frac{2 ln (3)}{ln (5) - 3 ln (3)} + \frac{2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Schritt 4.6.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3.2

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.6.3.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3.2.2

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3.2.3

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{2 (\ln (3) + \ln (5))}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2 (\ln (3) + \ln (5))}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Dezimalform:

$x = - 3.21163648 \dots$