Elementarmathematik Beispiele

3^{2 x} + 3^{x + 1} - 4 = 0

$3^{2 x} + 3^{x + 1} - 4 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe

3^{x + 1}

$3^{x + 1}$ als

3^{x} \cdot 3^{1}

$3^{x} \cdot 3^{1}$ um.

3^{2 x} + 3^{x} \cdot 3 - 4 = 0

$3^{2 x} + 3^{x} \cdot 3 - 4 = 0$

Schritt 1.2

Schreibe

3^{2 x}

$3^{2 x}$ als

{(3^{x})}^{2}

${(3^{x})}^{2}$ um.

{(3^{x})}^{2} + 3^{x} \cdot 3 - 4 = 0

${(3^{x})}^{2} + 3^{x} \cdot 3 - 4 = 0$

Schritt 1.3

Es sei

u = 3^{x}

$u = 3^{x}$ . Ersetze

u

$u$ für alle

3^{x}

$3^{x}$ .

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Schritt 1.3.1

Berechne den Exponenten.

u^{2} + u \cdot 3 - 4 = 0

$u^{2} + u \cdot 3 - 4 = 0$

Schritt 1.3.2

Bringe

3

$3$ auf die linke Seite von

u

$u$ .

u^{2} + 3 u - 4 = 0

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

u^{2} + 3 u - 4 = 0

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere

u^{2} + 3 u - 4

$u^{2} + 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.4.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 4

$- 4$ und deren Summe

3

$3$ ist.

- 1, 4

$- 1, 4$

Schritt 1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(u - 1) (u + 4) = 0

$(u - 1) (u + 4) = 0$

(u - 1) (u + 4) = 0

$(u - 1) (u + 4) = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle

u

$u$ durch

3^{x}

$3^{x}$ .

(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0

$(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0$

(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0

$(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

3^{x} - 1 = 0

$3^{x} - 1 = 0$

3^{x} + 4 = 0

$3^{x} + 4 = 0$

Schritt 3

Setze

3^{x} - 1

$3^{x} - 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

3^{x} - 1

$3^{x} - 1$ gleich

0

$0$ .

3^{x} - 1 = 0

$3^{x} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse

3^{x} - 1 = 0

$3^{x} - 1 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

3^{x} = 1

$3^{x} = 1$

Schritt 3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

\ln (3^{x}) = \ln (1)

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Schritt 3.2.3

Zerlege

\ln (3^{x})

$\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von

x

$x$ aus dem Logarithmus.

x \ln (3) = \ln (1)

$x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Der natürliche Logarithmus von

1

$1$ ist

0

$0$ .

x \ln (3) = 0

$x \ln (3) = 0$

x \ln (3) = 0

$x \ln (3) = 0$

Schritt 3.2.5

Teile jeden Ausdruck in

x \ln (3) = 0

$x \ln (3) = 0$ durch

\ln (3)

$\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in

x \ln (3) = 0

$x \ln (3) = 0$ durch

\ln (3)

$\ln (3)$ .

\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

\ln (3)

$\ln (3)$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{0}{\ln (3)}

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

x = \frac{0}{\ln (3)}

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

x = \frac{0}{\ln (3)}

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.3.1

Dividiere

0

$0$ durch

\ln (3)

$\ln (3)$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Schritt 4

Setze

3^{x} + 4

$3^{x} + 4$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

3^{x} + 4

$3^{x} + 4$ gleich

0

$0$ .

3^{x} + 4 = 0

$3^{x} + 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse

3^{x} + 4 = 0

$3^{x} + 4 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere

4

$4$ von beiden Seiten der Gleichung.

3^{x} = - 4

$3^{x} = - 4$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

\ln (3^{x}) = \ln (- 4)

$\ln (3^{x}) = \ln (- 4)$

Schritt 4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da

\ln (- 4)

$\ln (- 4)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.4

Es gibt keine Lösung für

3^{x} = - 4

$3^{x} = - 4$

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0

$(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0$ wahr machen.

x = 0

$x = 0$