Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 1.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 20 \cdot 1 - 12$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$1 - 9 + 20 \cdot 1 - 12$

Schritt 1.1.3.5

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$- 8 + 20 \cdot 1 - 12$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$- 8 + 20 - 12$

Schritt 1.1.3.7

Addiere $- 8$ und $20$ .

$12 - 12$

Schritt 1.1.3.8

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12}{x - 1}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$20 x$

$12$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$12$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x - 12$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$
										$0$

Schritt 1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 8 x + 12$

Schritt 1.1.6

Schreibe $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 6, - 2$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) ((x - 6) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 6, 2$