Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{5 x + 4} - 1 = 2 x$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{5 x + 4} = 2 x + 1$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 x + 4}}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x + 4}$ als ${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 x + 4)}^{1} = {(2 x + 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$5 x + 4 = {(2 x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(2 x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(2 x + 1)}^{2}$ als $(2 x + 1) (2 x + 1)$ um.

$5 x + 4 = (2 x + 1) (2 x + 1)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 4 = 2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x + 4 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$5 x + 4 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x + 4 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 4 x + 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} + 4 x + 1 = 5 x + 4$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 4 x + 1 - 5 x = 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $4 x$ .

$4 x^{2} - x + 1 = 4$

Schritt 4.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - x + 1 - 4 = 0$

Schritt 4.4

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$4 x^{2} - x - 3 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$4 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe $- 1$ um als $3$ plus $- 4$

$4 x^{2} + (3 - 4) x - 3 = 0$

Schritt 4.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 = 0$

Schritt 4.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{2} + 3 x) - 4 x - 3 = 0$

Schritt 4.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (4 x + 3) - (4 x + 3) = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 3$ .

$(4 x + 3) (x - 1) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.7

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Schritt 4.7.2

Löse $4 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 3$

Schritt 4.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 4.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 4.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Schritt 4.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{4}$

Schritt 4.8

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 3) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{4}, 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{5 x + 4} - 1 = 2 x$ nicht erfüllen.

$x = 1$