Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} = 4$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe $2^{- x}$ als Potenz um.

$2^{x} - {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Schritt 3.2

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u - u^{- 1} = 12$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 12$

Schritt 3.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 3.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 3.4.2

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} = 12$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} = 12$ mit $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 12 u$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 12 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{u}$ in den Zähler.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} - 1 = 12 u$

Schritt 3.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Subtrahiere $12 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 1 - 12 u = 0$

Schritt 3.4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 12$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.3.4.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.4.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.3

Addiere $144$ und $4$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.4

Schreibe $148$ als $2^{2} \cdot 37$ um.

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Schritt 3.4.3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $148$ heraus.

$u = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Schritt 3.4.3.4.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$u = 6 \pm \sqrt{37}$

Schritt 3.4.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

Schritt 3.5

Setze $6 + \sqrt{37}$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$6 + \sqrt{37} = 2^{x}$

Schritt 3.6

Löse $6 + \sqrt{37} = 2^{x}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 6 + \sqrt{37}$ um.

$2^{x} = 6 + \sqrt{37}$

Schritt 3.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Schritt 3.6.3

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Schritt 3.6.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Schritt 3.6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 3.6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Schritt 3.6.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Schritt 3.7

Setze $6 - \sqrt{37}$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$6 - \sqrt{37} = 2^{x}$

Schritt 3.8

Löse $6 - \sqrt{37} = 2^{x}$ .

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Schritt 3.8.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 6 - \sqrt{37}$ um.

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

Schritt 3.8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (6 - \sqrt{37})$

Schritt 3.8.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (6 - \sqrt{37})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.8.4

Es gibt keine Lösung für $2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

Keine Lösung

Schritt 3.9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Dezimalform:

$x = 3.59487843 \dots$