Elementarmathematik Beispiele

\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} = 4

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} = 4$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit

3

$3$ .

\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

3

$3$ .

2^{x} - 2^{- x} = 12

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

2^{x} - 2^{- x} = 12

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

2^{x} - 2^{- x} = 12

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

Schritt 3

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe

2^{- x}

$2^{- x}$ als Potenz um.

2^{x} - {(2^{x})}^{- 1} = 12

$2^{x} - {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Schritt 3.2

Ersetze

2^{x}

$2^{x}$ durch

u

$u$ .

u - u^{- 1} = 12

$u - u^{- 1} = 12$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

u - \frac{1}{u} = 12

$u - \frac{1}{u} = 12$

Schritt 3.4

Löse nach

u

$u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

1, u, 1

$1, u, 1$

Schritt 3.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

u

$u$

u

$u$

Schritt 3.4.2

Multipliziere jeden Term in

u - \frac{1}{u} = 12

$u - \frac{1}{u} = 12$ mit

u

$u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere jeden Term in

u - \frac{1}{u} = 12

$u - \frac{1}{u} = 12$ mit

u

$u$ .

u \cdot u - \frac{1}{u} u = 12 u

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 12 u$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Mutltipliziere

u

$u$ mit

u

$u$ .

u^{2} - \frac{1}{u} u = 12 u

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 12 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

u

$u$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{1}{u}

$- \frac{1}{u}$ in den Zähler.

u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

Schritt 3.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Subtrahiere

12 u

$12 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

u^{2} - 1 - 12 u = 0

$u^{2} - 1 - 12 u = 0$

Schritt 3.4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.3.3

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 12

$b = - 12$ und

c = - 1

$c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach

u

$u$ auf.

\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.3.4.1.1

Potenziere

- 12

$- 12$ mit

2

$2$ .

u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.4.3.4.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.3

Addiere

144

$144$ und

4

$4$ .

u = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.4

Schreibe

148

$148$ als

2^{2} \cdot 37

$2^{2} \cdot 37$ um.

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Schritt 3.4.3.4.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

148

$148$ heraus.

u = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Schritt 3.4.3.4.3

Vereinfache

\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

u = 6 \pm \sqrt{37}

$u = 6 \pm \sqrt{37}$

u = 6 \pm \sqrt{37}

$u = 6 \pm \sqrt{37}$

Schritt 3.4.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

Schritt 3.5

Setze

6 + \sqrt{37}

$6 + \sqrt{37}$ für

u

$u$ in

u = 2^{x}

$u = 2^{x}$ ein.

6 + \sqrt{37} = 2^{x}

$6 + \sqrt{37} = 2^{x}$

Schritt 3.6

Löse

6 + \sqrt{37} = 2^{x}

$6 + \sqrt{37} = 2^{x}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als

2^{x} = 6 + \sqrt{37}

$2^{x} = 6 + \sqrt{37}$ um.

2^{x} = 6 + \sqrt{37}

$2^{x} = 6 + \sqrt{37}$

Schritt 3.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

\ln (2^{x}) = \ln (6 + \sqrt{37})

$\ln (2^{x}) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Schritt 3.6.3

Zerlege

\ln (2^{x})

$\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von

x

$x$ aus dem Logarithmus.

x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Schritt 3.6.4

Teile jeden Ausdruck in

x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ durch

\ln (2)

$\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.4.1

Teile jeden Ausdruck in

x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ durch

\ln (2)

$\ln (2)$ .

\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Schritt 3.6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

\ln (2)

$\ln (2)$ .

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Schritt 3.6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Schritt 3.6.4.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Schritt 3.7

Setze

6 - \sqrt{37}

$6 - \sqrt{37}$ für

u

$u$ in

u = 2^{x}

$u = 2^{x}$ ein.

6 - \sqrt{37} = 2^{x}

$6 - \sqrt{37} = 2^{x}$

Schritt 3.8

Löse

6 - \sqrt{37} = 2^{x}

$6 - \sqrt{37} = 2^{x}$ .

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Schritt 3.8.1

Schreibe die Gleichung als

2^{x} = 6 - \sqrt{37}

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$ um.

2^{x} = 6 - \sqrt{37}

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

Schritt 3.8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

\ln (2^{x}) = \ln (6 - \sqrt{37})

$\ln (2^{x}) = \ln (6 - \sqrt{37})$

Schritt 3.8.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da

\ln (6 - \sqrt{37})

$\ln (6 - \sqrt{37})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.8.4

Es gibt keine Lösung für

2^{x} = 6 - \sqrt{37}

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

Keine Lösung

Schritt 3.9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Dezimalform:

x = 3.59487843 \dots

$x = 3.59487843 \dots$