Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 7 x + 6$

Schritt 1

Faktorisiere

$x^{3} - 7 x + 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

$\frac{p}{q}$ , wobei

$p$ ein Teiler der Konstanten und

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 1.3

Setze

$1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

$0$ , folglich ist

$1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze

$1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 7 \cdot 1 + 6$

Schritt 1.3.2

Potenziere

$1$ mit

$3$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 6$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$1$ .

$1 - 7 + 6$

Schritt 1.3.4

Subtrahiere

$7$ von

$1$ .

$- 6 + 6$

Schritt 1.3.5

Addiere

$- 6$ und

$6$ .

$0$

Schritt 1.4

$1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

$x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 7 x + 6}{x - 1}$

Schritt 1.5

Dividiere

$x^{3} - 7 x + 6$ durch

$x - 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

$0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$- 6 x + 6$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	-	$6$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich

$0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x - 6$

Schritt 1.6

Schreibe

$x^{3} - 7 x + 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (x^{2} + x - 6)$

Schritt 2

Faktorisiere

$x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Faktorisiere

$x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

$c$ und deren Summe

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

$- 6$ und deren Summe

$1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) ((x - 2) (x + 3))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 2) (x + 3)$