Elementarmathematik Beispiele

f (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck

\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ nicht definiert ist.

x = - 2, x = 2

$x = - 2, x = 2$

Schritt 2

\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ , wenn

x

$x$

\to

$\to$

- 2

$- 2$ von links und

\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ , wenn

x

$x$

\to

$\to$

- 2

$- 2$ von rechts, dann ist

x = - 2

$x = - 2$ eine vertikale Asymptote.

x = - 2

$x = - 2$

Schritt 3

\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ , wenn

x

$x$

\to

$\to$

2

$2$ von links und

\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ , wenn

x

$x$

\to

$\to$

2

$2$ von rechts, dann ist

x = 2

$x = 2$ eine vertikale Asymptote.

x = 2

$x = 2$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

x = - 2, 2

$x = - 2, 2$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei

n

$n$ der Grad des Zählers und

m

$m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn

n < m

$n < m$ , dann ist die x-Achse,

y = 0

$y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn

n = m

$n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn

n > m

$n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle

n

$n$ und

m

$m$ .

n = 2

$n = 2$

m = 2

$m = 2$

Schritt 7

n = m

$n = m$ , ist die horizontale Asymptote die Gerade

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ mit

a = 3

$a = 3$ und

b = 1

$b = 1$ .

y = 3

$y = 3$

Schritt 8

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten:

x = - 2, 2

$x = - 2, 2$

Horizontale Asymptoten:

y = 3

$y = 3$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 10