Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 5 x - 9 = 0$

Schritt 1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 5 x = 9$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} = 9 + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$x^{2} + 5 x + \frac{5^{2}}{2^{2}} = 9 + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{2^{2}} = 9 + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = 9 + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $9 + {(\frac{5}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = 9 + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = 9 + \frac{25}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = 9 + \frac{25}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = 9 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $9$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = \frac{9 \cdot 4 + 25}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = \frac{36 + 25}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $36$ und $25$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = \frac{61}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{5}{2})}^{2}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{61}{4}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{61}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{61}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{61}{4}}$ als $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{4}}$ um.

$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{2}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $\frac{5}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{61}}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{61}}{2} - \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.40512483 \dots, - 6.40512483 \dots$