Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1, 4}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty), {x | x \neq - 1, 4}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 6